Buď \(p\) binární predikát. Které z následujících formulí jsou logickými důsledky negace formule \((\exists x)(\exists y)p(x,y)\).

Buďte \(p\) a \(v\) unární predikáty. Které z následujících logických důsledků platí?

Kolika způsoby lze rozdělit tři medaile (zlatá, stříbrná a bronzová) mezi \(n\) závodníků, \(n\in\mathbb{N}\) a \(n \geq 3\)?



Výsledný výraz vyjadřující počet způsobů zapište jako matematický výraz v jazyce Python – s použitím závorek a klasických operátorů +, -, * symbolu / pro neceločíselné dělení a symbolu ** pro exponent (tedy například 2**3 je 2 "na" 3 tedy 8). Kombinační číslo "n nad k" lze zadat jako funkci binomial(n,k), faktoriál \(n!\) lze zadat jako funkci factorial(n).

Máme čtyři muže a tři ženy. Kolika způsoby z nich lze vybrat a umístit tři smíšené dvoučlenné komise, které chceme posadit do tří různých místností A, B a C? (zapište jednoduše číslem, bez jakýchkoli početních operací)

Máme pět mužů a dvě ženy. Kolika způsoby z nich lze vybrat smíšený tříčlenný tým (tj. v týmu musí být zastoupeni ženy i muži)? (zapište jednoduše číslem, bez jakýchkoli početních operací)

Máme pět mužů a tři ženy. Kolika způsoby z nich lze vybrat dva smíšené páry (pořadí párů nehraje roli)? (zapište jednoduše číslem, bez jakýchkoli početních operací)

Mějme \(n\)prvkovou množinu \(A\), kde \(n\geq 2\). Nechť \(u\) označuje počet částečných uspořádání na množině \(A\) a \(e\) počet ekvivalencí na množině \(A\). Vyberte všechny vztahy mezi hodnotami \(e\) a \(u\), které jsou nutně pravdivé.

Mějme binární predikát \(r(x,y)\). Které z následujících formulí predikátové logiky jsou logickým důsledkem formule \[(\forall x)(\exists y)\neg r(x,y)? \]

Mějme množinu \(A = \{a, b, c\}\) a uvažujme binární relace na této množině. Označme \(R=\{(a,a), (b,b), (a,c)\}\). Vyberte z následující nabídky všechny relace \(S\), pro které platí, že \(S \circ R\) je symetrická relace.

Mějme neprázdnou binární relaci \(R\) na neprázdné množině \(X\). Určete, pro které z vlastností uvedených níže platí, že má-li ji relace \(R\), pak ji nutně má i její mocnina \(R^2=R \circ R\).

Mějme unární predikáty \(r(x)\) a \(s(x)\). Které z následujících formulí predikátové logiky jsou logickým důsledkem formule \[((\exists x)r(x)\wedge (\exists x)s(x))? \]

Nechť \((A, \preccurlyeq)\) je libovolná částečně uspořádaná množina s alespoň dvěma neporovnatelnými prvky. Nechť \(\prec\) je ostré uspořádání odvozené od částečného uspořádání \(\preccurlyeq\) a nechť \(\preccurlyeq_u\) je nějaké rozšíření částečného uspořádání \(\preccurlyeq\) na úplné uspořádání. Vyberte z následující nabídky zaručeně pravdivá tvrzení.

Nechť \(A, B, C\) jsou nějaké podmnožiny společného univerza \(\mathcal{U}\) splňující \(A\cap B \cap C\neq\emptyset\). Vyberte z nabídky všechny množinové vztahy, které lze za otazník doplnit tak, aby tvrzení \[A \setminus (B \setminus C)\ ?\ (A \setminus B) \setminus C\] bylo vždy pravdivé (nezávisle na volbě \(A, B, C\) splňujících předpoklady).

Nechť \(a, b, c, e, f \in \mathbb{Z}\) jsou libovolná celá čísla. Uvažujme relaci dělitelnosti beze zbytku, značené \(|\), na množině celých čísel \(\mathbb{Z}\). Vyznačte všechna pravdivá tvrzení v následující nabídce:

Nechť \(a, b, m\in \mathbb{N}\), přičemž \(m>1\). \(\varphi\) označuje Eulerovu funkci. Rozhodněte, která z následujících tvrzení jsou vždy pravdivá.

Nechť \(n,m\in\mathbb{N},n\geq 2, m\leq\lfloor n/2\rfloor\). Určete, kolik řetězců \(w\in\{0,1\}^{n}\) (binárních, délky \(n\)) obsahuje právě \(m\) nul, přičemž žádné dvě nejsou vedle sebe.




Výsledný výraz vyjadřující počet řetězců zapište jako matematický výraz v jazyce Python – s použitím závorek a klasických operátorů +, -, * symbolu / pro neceločíselné dělení a symbolu ** pro exponent (tedy například 2**3 je 2 "na" 3 tedy 8). Kombinační číslo "n nad k" lze zadat jako funkci binomial(n,k), faktoriál \(n!\) lze zadat jako funkci factorial(n).

Pro přirozená čísla \(a_1, a_2,a_3,m_1,m_2,m_3\) (navíc \(m_1,m_2,m_3>1\)) mějme následující soustavu lineárních kongruencí:
\[\begin{eqnarray}
x & \equiv & a_1 \pmod{m_1} \nonumber \\ %\ \ \ \ \text{ pro } i \in \{1,\ldots,N\},
x & \equiv & a_2 \pmod{m_2} \nonumber \\
x & \equiv & a_3 \pmod{m_3}. \nonumber
\end{eqnarray}\]
Rozhodněte, která z následujících tvrzení jsou vždy pravdivá.

Prodejna domácích zvířat má tři psy, čtyři kočky a dvě morčata, každé z těchto zvířat je jiné. Kolika různými způsoby lze vybrat dvě zvířata různého druhu? (zapište jednoduše číslem, bez jakýchkoli početních operací).

Určete hodnotu Eulerovy funkce \(\varphi(n)\) pro \(n = 925650\). Zapište jednoduše číslem, bez jakýchkoli početních operací.

Určete hodnotu mocniny \(12345^{6789}\pmod{43}\).

Určete počet binárních řetězců délky alespoň 1 a nejvýše 10, které obsahují stejný počet nul jako jedniček (zapište jednoduše číslem, bez jakýchkoli početních operací).

Určete počet různých (totálních) zobrazení množiny \(X = \{1,2,3,4\}\) do množiny \(Y = \{a,b,c\}\) (zapište jednoduše číslem, bez jakýchkoli početních operací).

Určete počet různých injektivních (totálních) zobrazení množiny \(X = \{1,2,3,4\}\) do množiny \(Y = \{a,b,c\}\) (zapište jednoduše číslem, bez jakýchkoli početních operací).

Určete počet různých vyjádření \(\gcd(81,135)\) ve tvaru celočíselné lineární kombinace \(A\cdot 81 + B\cdot 135\) s takovou dvojicí koeficientů \(A,B\), pro něž je hodnota \(B\) kladná a menší než 10.

Určete takovou dvojici celých čísel \(m,n\), aby platilo \(\gcd(420, 231) = 420\cdot m + 231\cdot n\), a přitom hodnota \(|m|+|n|\) byla co nejmenší. Čísla zapište v tomto pořadí oddělená čárkou, na mezerách nezáleží.

Určete v rostoucím pořadí nejmenší tři různá řešení \(x \in \mathbb{Z}_{84}\) lineární kongruence \(35\cdot x \equiv 14 \pmod{84}\). Výsledek zapište ve tvaru číslo1,číslo2,číslo3 (na mezerách nezáleží), pokud řešení neexistuje, zapište 0.

Určete všechny prvky \(a\) množiny \(\mathbb{Z}_{21}\), které mají multiplikativní inverzi. Výsledek zapište jako uzávorkovaný seznam (a:ainv, b:binv, ..., d:dinv), kde \(a,b,\ldots,d\) je rostoucí posloupnost a jednotlivé členy a:ainv jsou odděleny čárkou, na mezerách nezáleží. Tedy, pro množinu \(\mathbb{Z}_3\) by odpověď vypadala (1:1, 2:2).

Určete, kolika různými způsoby lze osoby \(A, B, C, D\) a \(E\) rozsadit ke dvěma stejným kulatým stolům tak, aby u každého stolu někdo seděl a osoby \(A\) a \(E\) nikdy neseděly u stejného stolu. Za stejná považujeme taková rozsazení, v nichž má každá osoba stejného souseda po levé ruce a stejného souseda po pravé ruce (zapište jednoduše číslem, bez jakýchkoli početních operací).

Určete, kolika různými způsoby lze osoby \(A, B, C\) a \(D\) rozsadit ke dvěma stejným kulatým stolům tak, aby u každého stolu někdo seděl. Za stejná považujeme taková rozsazení, v nichž má každá osoba stejného souseda po levé ruce a stejného souseda po pravé ruce (zapište jednoduše číslem, bez jakýchkoli početních operací).

Uvažujme binární relaci \(R=\{(a,d),(b,c)\}\) na množině \(X=\{a,b,c,d\}\). Najděte nejmenší ekvivalenci \(S\) na množině \(X\), pro kterou platí \(R\subseteq S\).

Vypište relaci \(S \setminus \Delta_X\), a to jako množinu uspořádaných dvojic v lexikografickém pořadí, oddělených čárkami, na mezerách nezáleží (např. relaci, pro kterou po odebrání diagonály platí pouze \(aRb\) a \(bRa\), bychom zapsali jako {(a,b), (b,a)}).

Uvažujme všechna pěticiferná čísla obsahující pouze cifry z množiny \(\{1,2,3,4,5\}\).

Určete pravděpodobnost, s jakou náhodně vybrané číslo obsahuje alespoň jednou cifru 5.


Svou odpověď zapište jako desetinné číslo (s desetinnou čárkou nebo tečkou, to je jedno), zaokrouhlené na 3 desetinná místa, např. 0,216.

Uveďte v lexikografickém pořadí všechna slova délky 3 vytvořená s pomocí znaků A, B, C splňující podmínku, že žádný znak se v jednom slově nesmí vyskytnout více než dvakrát. Slova (velkými písmeny) pište za sebou oddělená čárkou, na mezerách nezáleží.

V ano/ne dotazníku je 10 otázek, na 6 z nich je správná odpověď ANO, na ostatní je odpověď NE, nevíme ovšem, které jsou které. Kolikrát je třeba tento dotazník vyplnit (pokaždé jinak), aby alespoň jedno vyplnění bylo kompletně správné? (zapište jednoduše číslem, bez jakýchkoli početních operací)

V krabici máme 4 červené, 4 modré, 4 zelené a 4 bílé kuličky.
Kolika různými způsoby z nich můžeme vybrat 8 kuliček (nijak je neseřazujeme) tak, abychom měli současně od každé barvy alespoň jednu? (zapište jednoduše číslem, bez jakýchkoli početních operací)

V zastupitelstvu Dolní Lhoty nad Bublavou sedí pánové Beran, Vlk, Koníček, Lev, Zajíc, Liška, Křeček a Králík. Do rady se volí 4 lidé. Kolik existuje možných složení rady, aby v ní neměli početní převahu „masožravci“ (ti jsou tři) nad "býložravci" (těch je pět)? Pořadí lidí není důležité, nerozlišují se žádné role (zapište jednoduše číslem, bez jakýchkoli početních operací).

Z následujících množinových vztahů o relaci \(R\) na neprázdné množině \(X\) vyberte všechny, které jsou ekvivalentní některé (právě jedné) vlastnosti z nabídky: reflexivita, symetrie, asymetrie.

Zkouška z předmětu BI-DML je naplánována do místností \(A, B, C\), pro dozor u zkoušky jsou k dispozici učitelé \(P, Q, R, S\). Žádná místnost nesmí zůstat bez dozoru, každý učitel musí dozorovat v nějaké místnosti, přitom se (nutně) v jedné z místností sejdou dva dozorující učitelé.
Určete celkový počet možností, jak přiřadit jednotlivé učitele do jednotlivých místností (zapište jednoduše číslem, bez jakýchkoli početních operací).