Poslední aktualizace: 2024-05-18 16:46:18.013006Počet mergenutých kvízů: 1Počet otázek: 10Počet odpovědí: 40Počet správných odpovědí: 19Počet špatných odpovědí: 21Počet neznámých odpovědí: 0SprávněŠpatněNevíme
Která z následujících tvrzení jsou pravdivá?
\(\displaystyle \left( 2^{x^3} \right)' = 3x^2 \cdot 2^{x^3} \cdot \ln(2)\), pro \(x\in\mathbb{R}\).
\(\displaystyle \left( \ln(e^x) \right)' = 1\), pro \(x\in\mathbb{R}\).
\(\displaystyle \left( \sin\Big(\cos\big(\sin(x)\big)\Big) \right)' = -\cos\Big(\cos\big(\sin(x)\big)\Big) \cdot \sin\big(\sin(x)\big) \cdot \cos(x)\), pro \(x\in\mathbb{R}\).
\(\displaystyle \left( x^x \right)' = x \cdot x^{x-1} \ln(x)\), pro \(x > 0\).
Která z následujících tvrzení o funkcích \(f\), \(g\) a \(h\) definovaných na \(\mathbb{R}\) jsou pravdivá?
Pokud pro všechna reálná \(x\) platí nerovnost \(f(x) \leq g(x)\) a limita funkce \(f\) v bodě \(a\in\mathbb{R}\) je rovna \(+\infty\), potom i limita funkce \(g\) v bodě \(a\) existuje a je rovna \(+\infty\).
Pokud pro všechna reálná \(x\) platí nerovnosti \(f(x) \leq g(x) \leq h(x)\) a limity funkce \(f\) a \(h\) v bodě \(a\in\mathbb{R}\) jsou shodné a rovny \(b\in\overline{\mathbb{R}}\), potom i limita funkce \(g\) v bodě \(a\) existuje a je rovna \(b\).
Pokud pro všechna reálná \(x\) platí nerovnost \(f(x) \leq g(x)\) a limita funkce \(f\) v bodě \(a\in\mathbb{R}\) existuje, potom i limita funkce \(g\) v bodě \(a\) existuje.
Pokud pro všechna reálná \(x\) platí nerovnosti \(f(x) \leq g(x) \leq h(x)\), limita funkce \(f\) v bodě \(a\in\mathbb{R}\) je rovna \(-1\) a limita funkce \(h\) v bodě \(a\) je rovna \(1\), potom limita funkce \(g\) v bodě \(a\) neexistuje.
Která z následujících tvrzení o posloupnostech \((a_n)_{n=1}^\infty\), \((b_n)_{n=1}^\infty\) a \((c_n)_{n=1}^\infty\) jsou pravdivá?
Pokud platí \(a_n = \mathcal{O}(b_n)\) a \(b_n = \mathcal{O}(c_n)\), potom platí i \(a_n = \mathcal{O}(c_n)\).
Pokud platí \(a_n = \mathcal{O}(b_n)\), potom platí i \(10a_n = \mathcal{O}(b_n)\).
Pokud platí \(a_n = \mathcal{O}(b_n)\), potom platí i \(b_n = \mathcal{O}(a_n)\).
Pokud platí \(a_n = \mathcal{O}(c_n)\) a \(b_n = \mathcal{O}(c_n)\), potom platí i \(a_n b_n = \mathcal{O}(c_n)\).
Která z následujících tvrzení představují postačující podmínku pro existenci ostrého lokálního extrému funkce \(f\) v bodě \(a\)?
Derivace funkce \(f\) je kladná pro libovolné \(x > a\), záporná pro libovolné \(x < a\) a nulová v bodě \(a\).
Existuje okolí \(U_a\) bodu \(a\) takové, že pro každé \(x \in U_a\) různé od \(a\) platí \(f(x) < f(a)\).
Funkce \(f\) má v bodě \(a\) nulovou derivaci, nebo derivace funkce \(f\) v bodě \(a\) neexistuje.
Funkce \(f\) má v bodě \(a\) nulovou derivaci.
Které z následujících funkcí mají alespoň jedno ostré lokální minimum a současně alespoň jedno ostré lokální maximum?
\(f(x) = \sin(x)\).
\(f(x) = x \cdot (x^2 - 1)\).
\(f(x) = e^{x} + e^{-x}\).
\(f(x) = x + \sin(x)\).
Které z následujících přímek jsou asymptotou funkce \(f(x) = 1 + \frac{1}{\ln x}\) v uvedených bodech?
\(x = 1\) v \(1\).
\(y = 1\) v \(+\infty\).
\(x = 0\) v \(0\).
\(x = e\) v \(e\).
Které z následujících posloupností \((a_n)_{n=1}^\infty\) jsou divergentní?
\(\displaystyle a_n = (-1)^n\), \(n \in \mathbb{N}\).
\(\displaystyle a_n = \sum_{k=1}^n \frac{1}{k}\), \(n \in \mathbb{N}\).
\(\displaystyle a_n = \cos\left( \frac{1}{n} \right)\), \(n \in \mathbb{N}\).
\(\displaystyle a_n = \sin\left( \frac{1}{n} \right)\), \(n \in \mathbb{N}\).
Které z následujících výroků jsou pravdivé?
Funkce \(f\) je rostoucí na intervalu \(J\), právě když pro každé \(x,y\in J\), \(x < y\), platí \(f(x) \leq f(y)\).
Funkce \(f\) je rostoucí na intervalu \(J\), právě když pro každé \(x,y\in J\) platí \(f(x) \leq f(y)\).
Funkce \(f\) je rostoucí na intervalu \(J\), právě když pro každé \(x,y\in J\), \(x < y\), platí \(f(x) \geq f(y)\).
Funkce \(f\) je rostoucí na intervalu \(J\), právě když pro každé \(x\in J\) platí \(f(x) \leq f(x+1)\).
Pro které z následujících posloupností \((a_n)_{n=1}^\infty\) platí, že jejich limitu lze vypočítat pomocí podílového kritéra?
\(a_n = 2^{-n}\), \(n\in\mathbb{N}\).
\(a_n = (-2)^n\), \(n\in\mathbb{N}\).
\(a_n = 1\), \(n\in\mathbb{N}\).
\(a_n = \frac{1}{n}\), \(n\in\mathbb{N}\).
Tečnou funkce \(f\) v bodě \(a \in \overline{\mathbb{R}}\) nazýváme...
...přímku s rovnicí \(x=a\), pokud funkce \(f\) je spojitá v \(a\) a \(f'(a)\) je rovna \(+\infty\) nebo \(-\infty\).
...přímku s rovnicí \(y = f(a) + f'(a) (x-a)\), pokud je funkce \(f\) diferencovatelná v bodě \(a\).
...přímku s rovnicí \(x=a\), pokud \(a \in \mathbb{R}\) a alespoň jedna z limit \(\lim_{x\to a\pm} f(x)\) je rovna \(+\infty\) nebo \(-\infty\).
...přímku s rovnicí \(y = kx+q\), pokud \(a\) je \(+\infty\) nebo \(-\infty\) a \(\lim_{x\to a} \big( f(x) - kx - q \big) = 0\).