Poslední aktualizace: 2024-01-13 22:20:59.728694Počet mergenutých kvízů: 16Počet otázek: 14Počet odpovědí: 51Počet správných odpovědí: 32Počet špatných odpovědí: 19Počet neznámých odpovědí: 0SprávněŠpatněNevíme
Buď \(I\) otevřený interval. Vyberte všechna pravdivá tvrzení.
Funkce \(F(x)\) je primitivní funkcí k funkci \(f(x)\) na intervalu \(I\), právě když \(F'(x) = f(x)\) pro všechna \(x \in I\).
Funkce \(F(x)\) je primitivní funkcí k funkci \(f(x)\) na intervalu \(I\), právě když funkce \(F(x) + 5\) je primitivní funkcí k funkci \(f(x)\) na intervalu \(I\).
Funkce \(F(x)\) je primitivní funkcí k funkci \(f(x)\) na intervalu \(I\), právě když \(f'(x) = F(x)\) pro všechna \(x \in I\).
Funkce \(F(x)\) je primitivní funkcí k funkci \(f(x)\) na intervalu \(I\), právě když existuje bod \(x\in I\) takový, že \(F'(x) = f(x)\).
K funkci \(f(x)=\sin{x}\cos{x}\) nalezněte primitivní funkci.
Ve své odpovědi můžete použít standarní algebraické operace +, *, -, / a kulaté závorky. K umocňování použijte ^. K zápisu přirozeného logaritmu máte k dispozici funkci ln a dále Eulerovo číslo E.
-1/4 * cos(2*x)
Najděte primitivní funkci k funkci \(e^x \sin{x}\).
Ve své odpovědi můžete použít standarní algebraické operace +, *, -, / a kulaté závorky. K umocňování použijte ^. K zápisu přirozeného logaritmu máte k dispozici funkce ln a exp (exponenciální funkce o základu \(e\)) a dále Eulerovo číslo E.
1/2 * exp(x) * (sin(x) - cos(x))
Nalezněte primitivní funkci k funkci \(f(x) = x \ln(x)\).
Ve své odpovědi můžete použít standarní algebraické operace +, *, -, / a kulaté závorky. K umocňování použijte ^. K zápisu přirozeného logaritmu máte k dispozici funkci ln a dále Eulerovo číslo E.
1/2 * x^2 * ln(x) - 1/4 * x^2
Nechť \(F\) je primitivní funkcí k funkci \(f\) na \(\mathbb{R}\). Vyberte všechna pravdivá tvrzení.
Funkce \(F(x^3)\) je primitivní funkcí k \(3 x^2 f(x^3)\) na intervalu \((0,1)\).
\[\int \frac{f(\ln x)}{x}\, \mathrm{d}x = F(\ln x) + C\]
na intervalu \((0,+\infty)\).
\[\int \frac{f(\ln x)}{x}\, \mathrm{d}x = F(\ln x) + C\]
na intervalu \((1,10)\).
Funkce \(F(e^x)\) je primitivní funkcí k \(e^x f(\ln x)\) na intervalu \((0,+\infty)\).
Nechť \(F\) je primitivní funkcí k funkci \(f\) na intervalu \((a,b)\), \(\varphi\) je na intervalu \((\alpha, \beta)\) diferencovatelná a \(\varphi\big((\alpha,\beta)\big) = (a,b)\). Vyberte pravdivá tvrzení.
\(F(\varphi(x))\) je primitivní funkcí k \(f(\varphi(x))\varphi'(x)\) na intervalu \((\alpha,\beta)\).
\(f(\varphi(x))\varphi'(x)\) má na intervalu \((\alpha, \beta)\) primitivní funkci.
\(F(\varphi(x))\) je primitivní funkcí k \(f(\varphi(x))\) na intervalu \((\alpha,\beta)\).
\(F(\varphi(x))\) je primitivní funkcí k \(f(\varphi(x))\varphi'(x)\) na intervalu \((a,b)\).
Nechť \(f\) je definována na intervalu \((a,b)\) a nechť \(\varphi\) je bijekce \((\alpha,\beta)\) na \((a,b)\) s nenulovou konečnou derivací. Vyberte všechna pravdivá tvrzení.
Je-li funkce \(G(x)\) primitivní funkcí k funkci \(f(\varphi(x))\varphi'(x)\) na intervalu \((\alpha,\beta)\), pak
\[\int f(x)\, \mathrm{d}x = G(\varphi^{-1}(x)) + C\]
na \((a,b)\).
Je-li funkce \(G(x)\) primitivní funkcí k funkci \(f(\varphi(x))\varphi'(x)\) na intervalu \((\alpha,\beta)\), pak je \(G(\varphi^{-1}(x))\) primitivní funkcí k \(f(x)\) na intervalu \((a,b)\).
Primitivní funkce k funkci \(f(\varphi(x))\varphi'(x)\) na intervalu \((\alpha,\beta)\), je také primitivní funkcí k \(f(x)\) na intervalu \((a,b)\).
\[\int f(x)\, dx = \int f(\varphi(x)) \varphi'(x)\, \mathrm{d}x + C\]
na \((a,b)\).
Nechť funkce \(F(x)\) a \(G(x)\) jsou primitivní funkce k funkci \(f(x)\) na otevřeném intervalu \(I\).
Vyberte všechna pravdivá tvrzení.
Existuje konstanta \(c\) taková, že pro každé \(x \in I\) platí
\(F(x) = G(x) + c\).
Funkce \(F(x) - G(x)\) je konstantní na \(I\).
Pro každé \(x \in I\) platí \((F - G)'(x) = 0\).
Platí \[\int F(x)\, dx = \int G(x) \, dx.\]
Nechť funkce \(f\) má spojitou derivaci na intervalu \((a, b)\) a \(G\) je primitivní funkce k
funkci \(g\) na intervalu \((a, b)\). Potom platí:
\[
\int f(x)\, \mathrm{d}x = xf(x) - \int x f'(x)\, \mathrm{d}x
\]
na \((a,b)\).
\[
\int x g(x)\, \mathrm{d}x = x G(x) - \int G(x)\, \mathrm{d}x
\]
na \((a,b)\).
\[
\int x f(x)\, \mathrm{d}x = x f(x) - \int x^2 f'(x)\, \mathrm{d}x
\]
na \((a,b)\).
\[
\int x g(x)\, \mathrm{d}x = x G(x) - G(x) + C
\]
na \((a,b)\).
Nechť je funkce \(f\) diferencovatelná na intervalu \((a,b)\). Vyberte všechna pravdivá tvrzení.
Na \((a,b)\) existuje primitivní funkce k \(f\).
Primitivní funkce \(F\) k \(f\) má spojitou derivaci na \((a,b)\).
Primitivní funkce k \(f\) na \((a,b)\) neexistuje.
\(f'\) je na \((a,b)\) primitivní funkcí k \(f\).
Nechť pro všechna \(x\) z otevřeného intervalu \(I\) platí
\[\int f(x)dx = F(x) + C.\]
Vyberte všechna pravdivá tvrzení.
Funkce \(F(x) - 1\) je primitivní funkcí k funkci \(f(x)\) na intervalu \(I\).
Funkce \(F(x)\) je primitivní funkcí k funkci \(f(x)\) na intervalu \(I\).
\(F'(x) = f(x)\) pro všechna \(x \in I\).
Funkce \(f(x)\) je primitivní funkcí k funkci \(F(x)\).
Ověřte následující výpočty neurčitých integrálů a vyberte ty, které jsou správně.
\[
\int 2 x + 2 e^x - x^{-1} \, \mathrm{d}x = x^2 + 2e^x - \ln x + C\]
na \((0,+\infty)\).
\[
\int 2xe^{-x^2} \, \mathrm{d}x = - e^{-x^2} + C\]
na \(\mathbb R\).
\[
\int \frac{1}{\cos^2(x)} \, \mathrm{d}x = \mathrm{tg}\, x + C\]
na \(\left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right)\).
\[
\int \sin^2(x) + \cos^2(x) \, \mathrm{d}x = x + C\]
na \(\mathbb R\).
\[
\int x \sin x \, \mathrm{d}x = -x \cos x + \sin x + C\]
na \(\mathbb R\).
\[
\int \mathrm{arctg}\, x \, \mathrm{d}x = x\, \mathrm{arctg}\, x - \ln(1+x^2) + C\]
na \(\mathbb R\).
\[
\int x \cos(x) \, \mathrm{d}x = x^2 \sin(x) + \cos(x) + C\]
na \(\mathbb R\).
\[
\int x^2 e^{x} \, \mathrm{d}x = (x - 1)^2 e^x + C\]
na \(\mathbb R\).
Určete u kterých z následujících integrálů byla správně použita metoda per-partes.
\[
\int \sin^2(x)\, \mathrm{d}x = - \sin x \cos x + \int \cos^2(x)\, \mathrm{d}x
\]
na \(\mathbb R\).
\[
\int e^x \sin x\, \mathrm{d}x = e^x \sin x - \int e^x\cos x\, \mathrm{d}x
\]
na \(\mathbb R\).
\[
\int e^{-x^2}\, \mathrm{d}x = xe^{-x^2} + 2\int x^2 e^{-x^2}\, \mathrm{d}x
\]
na \(\mathbb R\).
\[
\int x^2 \sin x\, \mathrm{d}x = - x^2\cos x - \int 2 x \cos x\, \mathrm{d}x
\]
na \(\mathbb R\).
Určete, u kterých z následujících integrálů byla správně použita metoda substituce.
\[
\int \frac{e^{x}}{1 + e^{2x}}\, \mathrm{d}x = \int \frac{1}{1+u^2}\, \mathrm{d}u.
\]
\[
\int \frac{x^2}{x^3 + 5}\, \mathrm{d}x = \frac{1}{3}\int \frac{1}{u}\, \mathrm{d}u.
\]
\[
\int \frac{x^3 + x^2}{x^4 + x^3 + 5}\, \mathrm{d}x = \frac{1}{4}\int \frac{1}{u}\, \mathrm{d}u.
\]
\[
\int \frac{x^4 + 2}{(x^5 + 10x)^3}\, \mathrm{d}x = \frac{1}{5}\int \frac{1}{u^4}\, \mathrm{d}u.
\]