Poslední aktualizace: 2024-01-30 11:00:50.634760Počet mergenutých kvízů: 2Počet otázek: 10Počet odpovědí: 40Počet správných odpovědí: 23Počet špatných odpovědí: 17Počet neznámých odpovědí: 0SprávněŠpatněNevíme
Buďte \(\mathbf{a}, \mathbf{b}, \mathbf{c} \in \mathbb{R}^2\) a \(\varepsilon > 0\).
Vyberte všechna pravdivá tvrzení.
Platí
\[ \| \mathbf{b} - \mathbf{c} \| \leq \| \mathbf{b} - \mathbf{a} \| + \| \mathbf{a} - \mathbf{c}\|. \]
Pro každé \((x,y)^T \in U_\mathbf{a}(\varepsilon)\) platí
\[ (x - a_1)^2 + (y - a_2)^2 < \varepsilon^2, \]
kde \(\mathbf{a}^T = (a_1, a_2)\).
Euklidovská vzdálenost \(\mathbf{a}\) od \(\mathbf{b}\) je rovna \(\mathbf{c}^2\), kde
\[ \mathbf{c}^2 = \mathbf{a}^2 + \mathbf{b}^2. \]
Pokud \(\mathbf{a}\) a \(\mathbf{b}\) patří do \(U_\mathbf{c}(\varepsilon)\) potom i \(\mathbf{a} + \mathbf{b}\) patří do \(U_\mathbf{c}(\varepsilon)\).
Mějme funkce \(f\) a \(g\) spojité na \(\mathbb{R}\), body \(a, b, c \in \mathbb{R}\) splňující \(a < b < c\) a konstantu \(\alpha \in \mathbb{R}\).
Vyberte všechna obecně pravdivá tvrzení.
\(\displaystyle \int_a^b (\alpha \cdot f(x) + g(x)) \,\mathrm{d}x = \alpha \cdot \int_a^b f(x) \,\mathrm{d}x + \int_a^b g(x) \,\mathrm{d}x\).
\(\displaystyle \int_a^b f(x) \,\mathrm{d}x = \int_a^c f(x) \,\mathrm{d}x - \int_b^c f(x) \,\mathrm{d}x\).
\(\displaystyle \int_a^b f(x) \cdot g(x) \,\mathrm{d}x = \left(\int_a^b f(x) \,\mathrm{d}x \right)\cdot \left(\int_a^b g(x) \,\mathrm{d}x\right)\).
\(\displaystyle \int_a^c (f(x) + g(x)) \,\mathrm{d}x = \int_a^b f(x) \,\mathrm{d}x + \int_b^c g(x) \,\mathrm{d}x\).
Mějme kvadratickou formu \(q_\mathbf{M}(x,y) = (x,y)\mathbf{M} (x,y)^T\), kde
\[ \mathbf{M} = \begin{pmatrix} 2 & 2 \\ 2 & \alpha \end{pmatrix} \]
a \(\alpha\) je reálný parametr.
Vyberte všechna pravdivá tvrzení.
Tato kvadratická forma je indefinitní pro všechna \(\alpha < 2\).
Tato kvadratická forma je pozitivně definitní pro všechna \(\alpha > 2\).
Tato kvadratická forma je pozitivně semidefinitní pro \(\alpha = 2\).
Tato kvadratická forma je negativně semidefinitní pro všechna \(\alpha < 2\).
Mějme množinu \[D = \{ (x,y)\in \mathbb{R}^2 \mid 0\leq x \leq 2,\ 0 \leq y \leq x^2\} \]
a funkci \(f(x,y) = x+y\). Pak pro integrál \(\int\limits_{D}f(x,y)\,\mathrm{d}x\mathrm{d}y\) platí:
\(\int\limits_{D}f(x,y)\,\mathrm{d}x\mathrm{d}y = \int\limits_{0}^{2}\left(\int\limits_{0}^{x^2}(x+y)\,\mathrm{d}y\right)\mathrm{d}x\).
\(\int\limits_{D}f(x,y)\,\mathrm{d}x\mathrm{d}y = \int\limits_{0}^{4}\left(\int\limits_{\sqrt{y}}^{2}(x+y)\,\mathrm{d}x\right)\mathrm{d}y\).
\(\int\limits_{D}f(x,y)\,\mathrm{d}x\mathrm{d}y > 0. \)
\(\int\limits_{D}f(x,y)\,\mathrm{d}x\mathrm{d}y = \int\limits_{0}^{4}\left(\int\limits_{0}^{2}(x+y)\,\mathrm{d}x\right)\mathrm{d}y\).
Mějme reálnou funkci jedné reálné proměnné \(f\) mající všechny derivace v bodě \(a \in D_f = \mathbb{R}\).
Nechť \(n\) je nezáporné celé číslo.
Vyberte všechna pravdivá tvrzení.
Pro \(n\)-tý Taylorův polynom funkce \(f\) v bodě \(a\), tj. \(T_{n,a}\), platí
\[ T_{n,a}(x) = \sum_{k=0}^n \frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k. \]
\(n\)-tý Taylorův polynom funkce \(f\) v bodě \(a\), tj. \(T_{n,a}\), splňuje rovnost \(T^{(k)}_{n,a}(a) = f^{(k)}(a)\).
\(n\)-tý Taylorův polynom funkce \(f\) v bodě \(a\) má stupeň \(n\).
\(n\)-tý Taylorův polynom funkce \(f\) v bodě \(a\) splňuje rovnost \(T^{(k)}_{n,a}(x) = f^{(k)}(x)\) pro každé \(x\in\mathbb{R}\).
Uvažme funkci
\[ f(x,y) = -xy + \ln(xy) \]
s definičním oborem \(D_f = (0, +\infty) \times (0, +\infty)\).
Gradientem této funkce je
\[ \nabla f(x,y) = \left( \frac{1}{x} - y, \frac{1}{y} - x \right). \]
Hesseovou maticí této funkce je matice
\[ \nabla^2 f(x,y) = \begin{pmatrix} -1/x^2 & -1 \\ -1 & -1/y^2 \end{pmatrix}. \]
Tato funkce má nekonečně mnoho stacionárních bodů.
Gradientem této funkce je
\[ \nabla f(x,y) = \left( \frac{1}{x} - x, \frac{1}{y} - y \right). \]
Uvažujme lineární rekurentní rovnici
\[x_{n+3} + c_2x_{n+2} + c_1x_{n+1}+c_0x_{n} = b_n\,, \quad n\geq1\,,\]
kde \(c_2,c_1 \in\mathbb{R}\), \(c_0\in\mathbb{R}\setminus\{0\}\), \((b_n)_{n=1}^{\infty}\) je reálná posloupnost. O množině všech řešení této rovnice platí:
Existuje právě jedno řešení \((x_n)_{n=1}^{\infty}\) této rovnice splňující \(x_1 = x_2 = x_3 = 1\).
Je vždy neprázdná.
Lze ji zapsat ve tvaru \((\tilde{x}_n)_{n=1}^{\infty} + S_0\), kde \((\tilde{x}_n)_{n=1}^{\infty} \in \mathbb{R}^\infty\) a \(S_0\) je podprostor \(\mathbb{R}^{\infty}\) dimenze \(3\).
Je rovna \(\Big\langle (y_n)_{n=1}^{\infty}, (z_n)_{n=1}^{\infty}, (u_n)_{n=1}^{\infty}\Big\rangle\), kde \((y_n)_{n=1}^{\infty}, (z_n)_{n=1}^{\infty}, (u_n)_{n=1}^{\infty}\) jsou lineárně nezávislá řešení přidružené homogenní rovnice.
Uvažujme posloupnosti \((a_k)_{k=1}^{\infty}\) a \((b_k)_{k=1}^{\infty}\) takové, že \(0 < a_k < b_k\) pro všechna \(k\in\mathbb{N}\). Rozhodněte o pravdivosti tvrzení.
Je-li řada \(\sum\limits_{k=1}^\infty a_k\) divergentní, pak je divergentní i řada \(\sum\limits_{k=1}^\infty b_k\).
Je-li řada \(\sum\limits_{k=1}^\infty b_k\) konvergentní, pak je konvergentní i řada \(\sum\limits_{k=1}^\infty a_k\).
Je-li řada \(\sum\limits_{k=1}^\infty a_k\) konvergentní, pak je konvergentní i řada \(\sum\limits_{k=1}^\infty b_k\).
Je-li řada \(\sum\limits_{k=1}^\infty b_k\) divergentní, pak je divergentní i řada \(\sum\limits_{k=1}^\infty a_k\).
Uvažujme rekurentní rovnici
\[T(n) = 2T\left(\frac{n}{3}\right) + n, \quad T(1) = 2.\]
Rozhodněte o pravdivosti tvrzení (uvedené asymptotické vztahy bereme pro \(n \to +\infty\)).
\(T(n) = \Theta\left(n\right)\)
\(T(n) = \Theta\left(n\log_3{n}\right)\)
\(T(n) = \Theta\left(n^{\log_2{3}}\right)\).
\(T(n) = \Theta\left(n^{\log_3{2}}\right)\).
Vyberte všechna pravdivá tvrzení o mocninné řadě
\[ \sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k}{2^k}(x-1)^k. \]
Máme-li \(x\), pro které je tato řada konvergentní, potom jejím součtem je \(\frac{2}{1+x}\).
Tato řada konverguje pro každé \(x \in (-1, 3)\).
Součtem této řady pro \(x = 1\) je \(0\).
Tato řada konverguje pro každé \(x \in \langle -1, 3 \rangle\).